2025-05-05 09:39:07
ในบทความก่อนหน้านี้บนเว็บไซต์ เราได้แนะนำแคลคูลัสเชิงสุ่ม (stochastic calculus) ในบริบทของบทบาทที่มีต่อการเงินเชิงปริมาณ (quantitative finance) โดยคุณสมบัติของ Markov และ Martingale ก็ได้ถูกนิยามไว้เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในการจำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์
ในทั้งสองบทความนี้ ได้มีการกล่าวว่า Brownian motion จะใช้เป็นแบบจำลองสำหรับเส้นทางราคาสินทรัพย์เมื่อเวลาผ่านไป ในบทความนี้ Brownian motion จะได้รับการนิยามอย่างเป็นทางการ และจะอธิบายอนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์ของมันซึ่งก็คือ Wiener process จะมีการแสดงให้เห็นว่า standard Brownian motion นั้นไม่เพียงพอสำหรับการจำลองความเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ และ geometric Brownian motion เป็นสิ่งที่เหมาะสมมากกว่า
จากการอภิปรายก่อนหน้านี้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ Markov และ Martingale ได้มีการทดลองโยนเหรียญแบบไม่ต่อเนื่อง โดยใช้จำนวนช่วงเวลาที่กำหนดไว้แบบ (arbitrary) เป้าหมายในที่นี้คือ การมุ่งไปสู่การเดินสุ่มแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous-time random walk) ซึ่งจะเป็นแบบจำลองที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นสำหรับราคาสินทรัพย์ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนช่วงเวลา (time steps) อย่างไรก็ตาม วิธีการเพิ่มจะต้องดำเนินไปในลักษณะเฉพาะ เพื่อหลีกเลี่ยงผลลัพธ์ที่ไร้ความหมาย (เช่น อินฟินิตี้)
พิจารณาช่วงเวลาแบบต่อเนื่องที่เป็นจำนวนจริง [0,T], โดยที่ T > 0 ในช่วงเวลานี้จะมีการโยนเหรียญ N ครั้ง โดยแต่ละครั้งใช้เวลา T/N ดังนั้นการโยนเหรียญจะเกิดขึ้นอย่างสม่ำเสมอในเชิงเวลา พร้อมกันนี้จะมีการปรับค่าผลตอบแทนที่ได้จากการโยนแต่ละครั้ง ลำดับของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete random variables) ที่แทนการโยนเหรียญคือ
การนิยามลำดับของตัวแปรสุ่มนี้มีเป้าหมายเพื่อให้ได้ค่าการเปลี่ยนแปลงกำลังสองเฉพาะเจาะจง (quadratic variation) ของการโยนเหรียญ
ค่าการเปลี่ยนแปลงกำลังสอง (quadratic variation) ของลำดับ DRVs นิยามเป็นผลรวมของผลต่างยกกำลังสองระหว่างค่าปัจจุบันและค่าก่อนหน้า:
สำหรับ
สำหรับ ค่าการเปลี่ยนแปลงกำลังสองของผลรวมย่อย
คือ:
ดังนั้น โดยการสร้างขึ้นมา ค่าการเปลี่ยนแปลงกำลังสองของการโยนเหรียญที่ถูกแก้ไข
จะเท่ากับระยะเวลารวมของการโยนทั้งหมดคือ T
ที่สำคัญคือ ต้องสังเกตว่าคุณสมบัติของ Markov และ Martingale ยังคงอยู่ใน เมื่อ
การเดินสุ่มจากการโยนเหรียญจะไม่แยกออกจากกัน (ไม่ลู่ออกไปหรือ diverge) หากค่าของสินทรัพย์ในเวลา t โดยที่
ถูกกำหนดให้เป็น S(t) ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา โดยทราบว่า
และมีความแปรปรวนเท่ากับ
แม้จะไม่กล่าวถึงรายละเอียดทางเทคนิค แต่เมื่อจำนวนขั้น N เข้าใกล้อินฟินิตี้ จะได้ Wiener process ซึ่งมักเรียกว่า standard Brownian motion และจะเขียนแทนด้วย B(t) โดยมีนิยามทางการดังนี้:
นิยาม: Wiener Process / Standard Brownian Motion
ลำดับของตัวแปรสุ่ม B(t) คือ Brownian motion ถ้า B(0) = 0 และสำหรับทุก t, s ที่ s < t จะมี B(t) - B(s) แจกแจงแบบปกติ (normally distributed) โดยมีความแปรปรวน t - s และการแจกแจงของ B(t) - B(s) ไม่ขึ้นอยู่กับ B(r) สำหรับ
Standard Brownian motion มีคุณสมบัติน่าสนใจหลายประการ ได้แก่:
โปรดทราบ: คุณสมบัติล่าสุดนี้ ไม่เหมือนกับ การที่ B(t) แจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็น t ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่อ่อนกว่ามาก
Brownian motion เป็นองค์ประกอบพื้นฐานในการสร้างสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (stochastic differential equations) ซึ่งในที่สุดจะนำไปสู่การหา สมการ Black-Scholes ที่มีชื่อเสียง สำหรับการกำหนดราคาของตราสารอนุพันธ์ (contingent claims)
อ้างอิง : Brownian Motion and the Wiener Process
จาก https://www.quantstart.com/articles/Brownian-Motion-and-the-Wiener-Process/
2025-01-10 10:12:01
2024-06-10 03:19:31
2024-05-31 03:06:49
2024-05-28 03:09:25
บทความที่น่าสนใจอื่นๆยังมีอีกมากลองเลืือกดูจากด้านล่างนี้ได้นะครับ
2025-04-17 02:47:43
2023-10-25 05:16:47
2024-05-21 01:51:22
2024-04-11 02:06:28
2024-12-03 01:14:34
2024-09-17 11:24:11
2023-09-06 03:35:01
2024-12-03 03:54:47
2024-04-25 09:31:48