Brownian Motion และ Wiener Process

ในบทความนี้ เราจะนิยาม Brownian Motion และอธิบายคุณสมบัติบางอย่าง ซึ่งมีความสำคัญมากในการสร้างโมเดลเส้นทางราคาสินทรัพย์ในอนาคต

ก่อนหน้านี้เราได้แนะนำแคลคูลัสเชิงสุ่ม (stochastic calculus) ในบริบทของการเงินเชิงปริมาณ รวมถึงนิยามสมบัติของกระบวนการ Markov และ Martingale ซึ่งเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์

บทความนี้จะนิยาม Brownian Motion อย่างเป็นทางการ และอธิบาย Wiener Process ซึ่งเป็นเวอร์ชันทางคณิตศาสตร์ของ Brownian Motion พร้อมอธิบายว่าทำไมการเคลื่อนที่แบบ Brownian ธรรมดาจึงไม่เหมาะกับการสร้างแบบจำลองราคา และเหตุผลที่ต้องใช้ Geometric Brownian Motion แทน

จากการทดลองโยนเหรียญสู่กระบวนการสุ่มต่อเนื่อง

ในบทความก่อน เราได้พิจารณาการโยนเหรียญแบบไม่จำกัดจำนวนครั้งในช่วงเวลาไม่ต่อเนื่อง (discrete-time random walk) เป้าหมายตอนนี้คือการเปลี่ยนเป็น กระบวนการสุ่มแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous-time random walk)

กำหนดช่วงเวลาจริง [0,T][0, T][0,T]

แบ่งช่วงเวลาดังกล่าวเป็น nnn การโยนเหรียญ โดยแต่ละครั้งใช้เวลาช่วงละ

Δt=T/n\Delta t = T/nΔt=T/n

กำหนดลำดับตัวแปรสุ่ม (random variables) ของการโยนเหรียญคือ XiX_iXi​

กำหนดผลรวมสะสม (partial sums) 

Sn=∑i=1nXiS_n = \sum_{i=1}^{n} X_iSn​=∑i=1n​Xi​

โดยมีการปรับขนาดของ XiX_iXi​ เพื่อให้ได้ quadratic variation ที่พิเศษ คือ:

QV(Sn)=∑i=1n(Si−Si−1)2=TQV(S_n) = \sum_{i=1}^n (S_i - S_{i-1})^2 = TQV(Sn​)=i=1∑n​(Si​−Si−1​)2=T

การก่อสร้างนี้รักษาสมบัติของ Markov และ Martingale และในขณะที่ n→∞n \to \inftyn→∞ จะได้กระบวนการสุ่มไม่ลู่ออก (non-diverging random walk)

นิยาม: Wiener Process หรือ Standard Brownian Motion

ลำดับของตัวแปรสุ่ม {B(t),t≥0}\{ B(t), t \geq 0 \}{B(t),t≥0} เป็น Brownian Motion ถ้า:

• B(0)=0B(0) = 0B(0)=0

• สำหรับ 0≤s<t0 \leq s < t0≤s<t, ความแตกต่าง B(t)−B(s)B(t) - B(s)B(t)−B(s) มีการแจกแจงแบบปกติ (normal distribution) มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน t−st - st−s

• ความแตกต่าง B(t)−B(s)B(t) - B(s)B(t)−B(s) เป็นอิสระจากข้อมูลก่อนเวลา sss

คุณสมบัติที่สำคัญของ Brownian Motion

• Finite: ผลรวมไม่ลู่ออกแม้จำนวนขั้นตอนจะมากขึ้น
• Unbounded Variation: ถ้ากลับทิศกราฟให้ทิศทางเดียวกัน จะสามารถขึ้นถึงค่าที่ไม่มีขอบเขตในช่วงเวลาใดๆ
• Continuous but Nowhere Differentiable: กราฟต่อเนื่องตลอด แต่ไม่มีจุดใดที่มีอนุพันธ์ (ลักษณะคล้ายโครงสร้างแบบเฟรคทัล)
• Markov Property: อนาคตขึ้นอยู่กับปัจจุบันเท่านั้น ไม่ขึ้นกับอดีต
• Martingale Property: ค่าเฉลี่ยเชิงเงื่อนไขของอนาคตเท่ากับค่าปัจจุบัน
• Strong Normal Distribution: B(t)B(t)B(t) มีการแจกแจงปกติจริง (mean = 0, variance = t)

หมายเหตุ: การแจกแจงแบบ strong normal ต่างจากการแจกแจงแบบธรรมดาเล็กน้อยในแง่ความแข็งแรงของเงื่อนไข

Brownian Motion เป็นส่วนประกอบสำคัญของ สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (stochastic differential equations) ซึ่งเป็นพื้นฐานในการสร้าง สมการ Black-Scholes สำหรับการกำหนดราคาผลิตภัณฑ์อนุพันธ์ (contingent claims pricing)

อ้างอิง : Brownian Motion and the Wiener Process

จาก https://www.quantstart.com/articles/Brownian-Motion-and-the-Wiener-Process/