บทนำสู่แคลคูลัสเชิงสุ่ม (Introduction to Stochastic Calculus)

แคลคูลัสเชิงสุ่ม (Stochastic calculus) ถูกใช้อย่างแพร่หลายในวงการการเงินเชิงปริมาณ (quantitative finance) เพื่อสร้างแบบจำลองราคาสินทรัพย์แบบสุ่ม (random asset prices) บทความนี้จะให้ภาพรวมสั้น ๆ เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะในกรณีที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองแบล็ก-สโคลส์(Black-Scholes model)

แคลคูลัสเชิงสุ่มหรือ Stochastic calculus คืออะไร?

แคลคูลัสเชิงสุ่มหรือ Stochastic calculus คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษากระบวนการที่มีองค์ประกอบสุ่ม (stochastic component) และด้วยเหตุนี้จึงสามารถใช้สร้างแบบจำลองของระบบสุ่ม (random systems) ได้ กระบวนการสุ่มจำนวนมากตั้งอยู่บนฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง แต่ไม่สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ ณ ที่ใดเลย (nowhere differentiable) ซึ่งทำให้ไม่สามารถใช้สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equations) ได้ เนื่องจากสมการเหล่านี้ต้องการการนิยามอนุพันธ์ (derivative terms) ที่ไม่สามารถนิยามได้บนฟังก์ชันที่ไม่เรียบ (non-smooth functions) ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีทฤษฎีการอินทิเกรต (theory of integration) ที่ไม่ต้องพึ่งพาการนิยามอนุพันธ์โดยตรง ในการเงินเชิงปริมาณ ทฤษฎีนี้เรียกว่า อิโตะแคลคูลัส (Ito Calculus)

การประยุกต์หลักของแคลคูลัสเชิงสุ่มในด้านการเงิน

การประยุกต์หลักของแคลคูลัสเชิงสุ่มในด้านการเงิน คือการสร้างแบบจำลองการเคลื่อนไหวแบบสุ่มของราคาสินทรัพย์ในแบบจำลองแบล็ก-สโคลส์ (Black-Scholes model) โดยอาศัยกระบวนการบราวเนียน (Brownian motion) แบบเรขาคณิต (geometric Brownian motion) ผ่านกระบวนการไวเนอร์ (Weiner Process) กระบวนการนี้จะแสดงผ่านสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (stochastic differential equation) ซึ่งแม้จะมีชื่อว่าสมการเชิงอนุพันธ์ แต่ในความเป็นจริงเป็นสมการอินทิเกรต (integral equation)

แบบจำลองไบโนเมียล (Binomial Model)

แบบจำลองทวินามหรือแบบจำลองไบโนเมียล (Binomial Model) เป็นวิธีหนึ่งในการหาค่าสมการแบล็ก-สโคลส์ นอกจากนี้ ยังสามารถใช้เครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงสุ่มที่เรียกว่า เลมมาของอิโตะ (Ito's Lemma) เพื่อช่วยให้เราสามารถอนุมานได้ในรูปแบบอื่น เลมมาของอิโตะ เป็นเสมือนกับกฎลูกโซ่ (chain rule) ของแคลคูลัสปกติ (ordinary calculus) แต่สำหรับกระบวนการสุ่ม ความแตกต่างหลักระหว่างแคลคูลัสเชิงสุ่มกับแคลคูลัสปกติ คือ แคลคูลัสเชิงสุ่มอนุญาตให้องค์ประกอบสุ่ม (random component) ปรากฏในอนุพันธ์ได้ โดยถูกกำหนดจากการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน (Brownian motion) อนุพันธ์ของตัวแปรสุ่ม (random variable) จะประกอบด้วยทั้งองค์ประกอบเชิงกำหนด (deterministic component) และองค์ประกอบสุ่ม ซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ (normally distributed)

ในบทความถัดไป เราจะใช้ทฤษฎีแคลคูลัสเชิงสุ่มเพื่อหาสูตรแบล็ก-สโคลส์ สำหรับการเรียกร้องแบบมีเงื่อนไข (contingent claim) โดยเราต้องสมมติว่าราคาสินทรัพย์จะไม่มีวันติดลบ หุ้นสามัญ (vanilla equity) เช่น หุ้น (stock) มีคุณสมบัตินี้อยู่แล้ว เราจึงไม่สามารถใช้กระบวนการบราวเนียนปกติได้ เพราะมีโอกาสที่ราคาจะติดลบ เราจึงใช้กระบวนการบราวเนียนเชิงเรขาคณิต (geometric Brownian motion) แทน โดยที่ลอการิทึมของราคาหุ้นมีพฤติกรรมแบบสุ่ม

เราจะสร้างสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (stochastic differential equation) สำหรับการเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ และแก้สมการเพื่อหาทิศทางการเคลื่อนที่ของราคาหุ้น และเพื่อกำหนดราคาสิทธิเรียกร้องตามเงื่อนไข เราจะสังเกตว่าราคาของสิทธิเรียกร้องนั้นขึ้นอยู่กับราคาสินทรัพย์ และโดยการสร้างพอร์ตโฟลิโอของสิทธิเรียกร้องและสินทรัพย์อย่างชาญฉลาด เราจะสามารถตัดองค์ประกอบสุ่มออกได้โดยการลบล้างกัน จากนั้นเราจะสามารถใช้การโต้แย้งแบบไม่มีการเก็งกำไร (no-arbitrage argument) เพื่อกำหนดราคาของสิทธิในการซื้อหุ้นแบบยุโรป (European call option) ผ่านสมการแบล็ก-สโคลส์ที่ได้มา

อ้างอิง : Introduction to Stochastic Calculus 

จาก https://www.quantstart.com/articles/Introduction-to-Stochastic-Calculus/