Technology

วิธี Crank-Nicholson แบบปริยาย (Implicit Scheme)

2025-05-12 03:48:15

โพสต์นี้เป็นส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับวิธี Finite Difference Method โดยโพสต์อื่นๆ ในชุดนี้จะเน้นไปที่:

การประมาณอนุพันธ์ด้วยวิธีผลต่างจำกัด
การแก้สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง (Explicit)
วิธี Crank-Nicholson แบบปริยาย
การแก้ระบบเมทริกซ์สามแนวทแยงด้วยอัลกอริธึมของโธมัส

ในบทช่วยสอนก่อนหน้านี้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง (Explicit) ได้แสดงให้เห็นว่าวิธีแบบชัดเจนในการแก้สมการความร้อนเชิงตัวเลขนำไปสู่การกำหนดช่วงเวลาที่จำกัดอย่างมาก สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดแผนการอีกแบบหนึ่งที่อนุญาตให้มีการก้าวเวลาที่ใหญ่ขึ้น แต่มีการแลกเปลี่ยนกับการทำงานคอมพิวเตอร์ที่มากขึ้นต่อก้าวเวลา วิธีนี้เรียกว่าแผนการของ Crank-Nicholson

วิธีการแบบชัดเจนสำหรับสมการความร้อนเกี่ยวข้องกับเทอมความแตกต่างไปข้างหน้าสำหรับอนุพันธ์ตามเวลาและอนุพันธ์ที่สองแบบศูนย์กลางสำหรับอนุพันธ์ที่สองตามพื้นที่:

$\frac{f_{i}^{n + 1} - f_{i}^{n}}{Δ t} = \frac{f_{i + 1}^{n} - 2 f_{i}^{n} + f_{i - 1}^{n}}{(Δ x)^{2}}$

แผนผังแบบปริยาย

แผนการของ Crank-Nicolson แก้ไขสิ่งนี้โดยการรวมค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของขั้นตอนเชิงพื้นที่ที่สองในเวลา n และเวลา n + 1 คำตอบที่ชัดเจนคือค่าของ f ไม่เป็นที่รู้จักที่ n + 1 และมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับวิธีการคำนวณค่าดังกล่าว คำถามเหล่านี้จะได้รับคำตอบด้านล่าง คำถามสุดท้ายเกิดขึ้นเกี่ยวกับวิธีการแบ่งน้ำหนักของอนุพันธ์อันดับสองทั้งสองตัว แผนการของ Crank-Nicolson ใช้การแบ่ง 50-50 แต่ก็มีการแบ่งอื่นๆ ที่เป็นไปได้เช่นกัน ความเสถียรเป็นเรื่องที่ต้องกังวลที่นี่ด้วย $\frac{1}{2} \leq θ \leq 1$ โดยที่ $θ$ เป็นปัจจัยน้ำหนัก

แผนการของ Crank-Nicolson สำหรับสมการความร้อน 1D มีดังนี้:

$\frac{f_{i}^{n + 1} - f_{i}^{n}}{Δ t} = \frac{f_{i + 1}^{n} - 2 f_{i}^{n} + f_{i - 1}^{n}}{2 (Δ x)^{2}} + \frac{f_{i + 1}^{n + 1} - 2 f_{i}^{n + 1} + f_{i - 1}^{n + 1}}{2 (Δ x)^{2}}$

ให้ $r = \frac{Δ t}{(Δ x)^{2}}$ , สมการนี้สามารถจัดเรียงใหม่เพื่อจัดกลุ่มพจน์ที่รู้จักและไม่รู้จักแยกกันได้:

$- \frac{r}{2} f_{i + 1}^{n + 1} + (1 + r) f_{i}^{n + 1} - \frac{r}{2} f_{i - 1}^{n + 1} = \frac{r}{2} f_{i + 1}^{n} + (1 - r) f_{i}^{n} + \frac{r}{2} f_{i - 1}^{n}$

เนื่องจากมีสามพจน์ที่ไม่ทราบค่าบนด้านซ้าย แสดงว่าต้องแก้สมการเชิงเส้นพร้อมกันชุดหนึ่งสำหรับแต่ละช่วงเวลา สำหรับช่วงเวลาใด ๆ ที่เฉพาะเจาะจง n จะมีสมการ I - 2 สมการที่ต้องแก้ไข สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับจุดกริดภายในแต่ละจุด เนื่องจากเราใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet (เช่น คงที่) จุดสิ้นสุดจึงไม่จำเป็นต้องแก้ระบบเชิงเส้นเช่นนี้

ระบบเชิงเส้นสามารถแสดงด้วยสมการเมทริกซ์ $A F = D$

, โดยที่ $a = - \frac{r}{2}$ , $b = (1 + r)$ , $c = - \frac{r}{2}$ , $d_{i} = \frac{r}{2} f_{i + 1}^{n} + (1 - r) f_{i}^{n} + \frac{r}{2} f_{i - 1}^{n}$ และ k วิ่งจาก 2 ถึง I - 1:

$[\begin{matrix} b & c & 0 & 0 & . . . & 0 \\ a & b & c & 0 & . . . & 0 \\ 0 & a & b & c & 0 & 0 \\ . & . & . \\ . & . & . \\ . & . & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & b \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ . \\ . \\ . \\ f_{k} \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ . \\ . \\ . \\ d_{k} \end{matrix}]$

การแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น

ความพยายามครั้งแรกในการแก้ปัญหาระบบนี้อาจเกี่ยวข้องกับการกลับค่าของเมทริกซ์ A เพื่อให้ค่าในเมทริกซ์คอลัมน์ F เป็น $F = A^{- 1} D$ อย่างไรก็ตาม นี่ห่างไกลจากวิธีที่ดีที่สุดและไม่ได้คำนึงถึงความเบาบางหรือโครงสร้างแบบแถบของเมทริกซ์ A ในบทเรียนถัดไปจะแสดงให้เห็นว่าสามารถแก้ปัญหานี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพอย่างไรเพื่อให้การทำงานในแต่ละช่วงเวลาน้อยที่สุด