2025-05-09 03:40:39
โพสต์นี้เป็นส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับวิธีผลต่างจำกัด (Finite Difference Method) โดยโพสต์อื่นๆ ในชุดนี้จะเน้นไปที่การแก้สมการความร้อน/สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง, วิธี Crank-Nicolson แบบปริยาย และการแก้ระบบเมทริกซ์สามแนวทแยงด้วยอัลกอริธึมของโธมัส:
นี่เป็นบทแรกในซีรีส์บทแนะนำหลายส่วนเกี่ยวกับการใช้วิธีความแตกต่างจำกัด (FDM) เพื่อแก้สมการอนุพันธ์บางส่วนพาราโบลิกเชิงตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการความร้อนจะถูกแก้ไข เนื่องจากสมการการกำหนดราคาของแบล็ก-โซลส์สามารถแปลงเป็นสมการความร้อนได้ วิธีการเหล่านี้สามารถนำมาใช้ในการแก้สมการเชิงตัวเลขได้
ถ้าเราให้
วิธีการต่างต่างแบบจำกัดให้วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้สมการนี้ผ่านการแบ่งส่วนอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์จะถูกประมาณโดยการขยายซีรีส์เทย์เลอร์ จำไว้ว่าซีรีส์เทย์เลอร์ให้ค่าของฟังก์ชัน
โปรดทราบว่า
ในลักษณะเดียวกัน เราสามารถหาค่า f ได้เมื่อค่าตัวแปรตาม x ถูกแปลโดยจำนวนเท่ากัน
สมการทั้งสองนี้เมื่อจัดเรียงใหม่จะอนุญาตให้มีการประมาณค่าอันดับแรกสำหรับอนุพันธ์
นอกจากนี้ การลบการขยายเทย์เลอร์ย้อนหลังจากการขยายเทย์เลอร์ไปข้างหน้าจะให้การประมาณค่าอันดับสองสำหรับอนุพันธ์
เพื่อให้ได้การประมาณค่าอันดับสองสำหรับอนุพันธ์อันดับสองของ
ตอนนี้ที่อนุพันธ์ถูกประมาณในลักษณะต่อเนื่องหนึ่งมิติแล้ว ถึงเวลาที่จะทำการแบ่งเขตของสมการความร้อน ฟังก์ชัน f ตอนนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงสองตัว x และ t ซึ่งแทนที่พื้นที่และเวลา ตามลำดับ ฟังก์ชัน
แท่งต่อเนื่อง 1D สามารถแบ่งเป็นจุดแยกต่างหาก I จุด
โปรดทราบว่าเลขยกกำลัง n ไม่ได้หมายถึงพลังของ f หรืออนุพันธ์อันดับที่ n ของมัน แต่หมายถึงค่าของมันในเวลาที่
พวกมันคือ ความแตกต่างไปข้างหน้า ความแตกต่างไปข้างหลัง ความแตกต่างแบบศูนย์กลาง และความแตกต่างแบบศูนย์กลางที่สอง ตามลำดับ
เนื่องจากความแตกต่างเป็นการประมาณการ จึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะตั้งคำถามว่าข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นได้อย่างไรในวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด ในความเป็นจริง มีข้อผิดพลาดสองประเภทที่อาจเกิดขึ้น พวกมันคือข้อผิดพลาดจากการตัดทอนและข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนคือข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนของอนุพันธ์ กล่าวคือ ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการเพิ่มอนุพันธ์ลำดับสูงเพิ่มเติม
ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษคือข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเนื่องจากความแม่นยำของการแก้ปัญหาที่ถูกเก็บไว้ในคอมพิวเตอร์ โดยปกติแล้วจะใช้ค่าฟลอยติ้งพอยต์แบบทศนิยมคู่ซึ่งเก็บได้ 16 หลักสำหรับแต่ละค่า ข้อผิดพลาดเหล่านี้สามารถสะสมได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากใช้ความแม่นยำเดี่ยว ซึ่งเก็บได้เพียง 8 หลักสำหรับค่าตัวเลขทศนิยม
ในบทแนะนำถัดไป สมการความร้อนจะถูกแก้ไขเชิงตัวเลข จะเห็นได้ว่า ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนสามารถสะสมได้อย่างรวดเร็วหากไม่มีการบังคับใช้เงื่อนไขบางประการ
อ้างอิง : Derivative Approximation via Finite Difference Methods
จาก https://www.quantstart.com/articles/Derivative-Approximation-via-Finite-Difference-Methods/
2025-01-10 10:12:01
2024-06-10 03:19:31
2024-05-31 03:06:49
2024-05-28 03:09:25
บทความที่น่าสนใจอื่นๆยังมีอีกมากลองเลืือกดูจากด้านล่างนี้ได้นะครับ
2024-06-04 09:37:55
2024-10-28 02:30:53
2025-02-03 11:14:11
2024-08-13 11:27:14
2024-10-28 04:22:55
2024-03-29 10:32:46
2024-10-10 09:27:15
2024-11-25 02:28:34
2024-04-18 04:57:21