การประมาณอนุพันธ์ด้วยวิธีผลต่างจำกัด (Finite Difference Methods)

โพสต์นี้เป็นส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับวิธีผลต่างจำกัด (Finite Difference Method) โดยโพสต์อื่นๆ ในชุดนี้จะเน้นไปที่การแก้สมการความร้อน/สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง, วิธี Crank-Nicolson แบบปริยาย และการแก้ระบบเมทริกซ์สามแนวทแยงด้วยอัลกอริธึมของโธมัส:

• การประมาณอนุพันธ์ด้วยวิธีผลต่างจำกัด
• การแก้สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง
• วิธี Crank-Nicolson แบบปริยาย
• การแก้ระบบเมทริกซ์สามแนวทแยงด้วยอัลกอริธึมของโธมัส

นี่เป็นบทแรกในซีรีส์บทแนะนำหลายส่วนเกี่ยวกับการใช้วิธีความแตกต่างจำกัด (FDM) เพื่อแก้สมการอนุพันธ์บางส่วนพาราโบลิกเชิงตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการความร้อนจะถูกแก้ไข เนื่องจากสมการการกำหนดราคาของแบล็ก-โซลส์สามารถแปลงเป็นสมการความร้อนได้ วิธีการเหล่านี้สามารถนำมาใช้ในการแก้สมการเชิงตัวเลขได้

ถ้าเราให้ $f\in C^2(\mathbb{R})$ หรือให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของจำนวนจริงที่มีอนุพันธ์สองครั้งแล้ว สมการความร้อนสำหรับ f จะเป็นดังนี้:

$$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$

การแบ่งอนุพันธ์เป็นค่าตัวเลข

วิธีการต่างต่างแบบจำกัดให้วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้สมการนี้ผ่านการแบ่งส่วนอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์จะถูกประมาณโดยการขยายซีรีส์เทย์เลอร์ จำไว้ว่าซีรีส์เทย์เลอร์ให้ค่าของฟังก์ชัน $f=f(x)$ เมื่ออนุพันธ์ของตัวแปรตาม $x\in \mathbb{R}$ ถูกแปลโดยจำนวน $\mathrm{\Delta }x$ ในแง่ของอนุพันธ์ที่จุดนั้น ดังนั้น $f(x+\mathrm{\Delta }x)$ สามารถคำนวณได้โดย:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{f^{″}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}+\frac{f^{‴}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^3}{3!}+O(\mathrm{\Delta }x{)}^4$$

โปรดทราบว่า $O(\mathrm{\Delta }x)$ แทนถึงพจน์เพิ่มเติมที่ถูกจำกัดโดยพจน์คงที่ที่คูณด้วย $\mathrm{\Delta }x$

ในลักษณะเดียวกัน เราสามารถหาค่า f ได้เมื่อค่าตัวแปรตาม x ถูกแปลโดยจำนวนเท่ากัน $\mathrm{\Delta }x$ ในทิศทางตรงกันข้าม:

$$f(x-\mathrm{\Delta }x)=f(x)-f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{f^{″}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}-\frac{f^{‴}(x)(\mathrm{\Delta }x{)}^3}{3!}+O(\mathrm{\Delta }x{)}^4$$

สมการทั้งสองนี้เมื่อจัดเรียงใหม่จะอนุญาตให้มีการประมาณค่าอันดับแรกสำหรับอนุพันธ์ $f^{\prime }(x)$:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}+O(\mathrm{\Delta }x)\\ & =\frac{f(x)-f(x-\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}+O(\mathrm{\Delta }x)\end{array}$$

นอกจากนี้ การลบการขยายเทย์เลอร์ย้อนหลังจากการขยายเทย์เลอร์ไปข้างหน้าจะให้การประมาณค่าอันดับสองสำหรับอนุพันธ์ $f^{\prime }(x)$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x-\mathrm{\Delta }x)}{2\mathrm{\Delta }x}+O(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

เพื่อให้ได้การประมาณค่าอันดับสองสำหรับอนุพันธ์อันดับสองของ $f$, $f^{″}(x)$, เราสามารถรวมการขยายเทย์เลอร์แบบไปข้างหน้าและแบบย้อนกลับเพื่อรับ:

$$f^{″}(x)=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-2f(x)+f(x-\mathrm{\Delta }x)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+O(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

การแบ่งเขตโดเมน

ตอนนี้ที่อนุพันธ์ถูกประมาณในลักษณะต่อเนื่องหนึ่งมิติแล้ว ถึงเวลาที่จะทำการแบ่งเขตของสมการความร้อน ฟังก์ชัน f ตอนนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงสองตัว x และ t ซึ่งแทนที่พื้นที่และเวลา ตามลำดับ ฟังก์ชัน $f=f(x,t)$ สามารถคิดได้ว่าเป็นปริมาณความร้อนที่จุดใดจุดหนึ่งตามแท่งหนึ่งมิติ

แท่งต่อเนื่อง 1D สามารถแบ่งเป็นจุดแยกต่างหาก I จุด $1,2,...,i,...,I$ เวลาอาจถูกแบ่งเป็นจุดแยกต่างหาก N จุด $1,2,...,n,...,N$ แต่ละจุดแยกจากกันด้วยช่วงเวลาที่ $\mathrm{\Delta }t$ การประมาณ $f_i^n$ ถึง $f$ ที่เวลา n และตำแหน่ง $x=i\mathrm{\Delta }x$ คือ:

$$f_i^n\approx f(i\mathrm{\Delta }x,n\mathrm{\Delta }t)$$

โปรดทราบว่าเลขยกกำลัง n ไม่ได้หมายถึงพลังของ f หรืออนุพันธ์อันดับที่ n ของมัน แต่หมายถึงค่าของมันในเวลาที่ $n\mathrm{\Delta }t$ ดังนั้น การประมาณค่าเทย์เลอร์ที่กล่าวถึงข้างต้นสำหรับอนุพันธ์สามารถเขียนได้ว่า:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(i\mathrm{\Delta }x,n\mathrm{\Delta }t)& \approx \frac{f_{i+1}^n-f_i^n}{\mathrm{\Delta }x}\\ & \approx \frac{f_i^n-f_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }x}\\ & \approx \frac{f_{i+1}^n-f_{i-1}^n}{2\mathrm{\Delta }x}\\ f^{″}(i\mathrm{\Delta }x,n\mathrm{\Delta }t)& \approx \frac{f_{i+1}^n-2f_i^n+f_{i-1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}\end{array}$$

พวกมันคือ ความแตกต่างไปข้างหน้า ความแตกต่างไปข้างหลัง ความแตกต่างแบบศูนย์กลาง และความแตกต่างแบบศูนย์กลางที่สอง ตามลำดับ

ข้อผิดพลาดและข้อสรุป

เนื่องจากความแตกต่างเป็นการประมาณการ จึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะตั้งคำถามว่าข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นได้อย่างไรในวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด ในความเป็นจริง มีข้อผิดพลาดสองประเภทที่อาจเกิดขึ้น พวกมันคือข้อผิดพลาดจากการตัดทอนและข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนคือข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนของอนุพันธ์ กล่าวคือ ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการเพิ่มอนุพันธ์ลำดับสูงเพิ่มเติม

ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษคือข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเนื่องจากความแม่นยำของการแก้ปัญหาที่ถูกเก็บไว้ในคอมพิวเตอร์ โดยปกติแล้วจะใช้ค่าฟลอยติ้งพอยต์แบบทศนิยมคู่ซึ่งเก็บได้ 16 หลักสำหรับแต่ละค่า ข้อผิดพลาดเหล่านี้สามารถสะสมได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากใช้ความแม่นยำเดี่ยว ซึ่งเก็บได้เพียง 8 หลักสำหรับค่าตัวเลขทศนิยม

ในบทแนะนำถัดไป สมการความร้อนจะถูกแก้ไขเชิงตัวเลข จะเห็นได้ว่า ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนสามารถสะสมได้อย่างรวดเร็วหากไม่มีการบังคับใช้เงื่อนไขบางประการ

อ้างอิง : Derivative Approximation via Finite Difference Methods

จาก https://www.quantstart.com/articles/Derivative-Approximation-via-Finite-Difference-Methods/