Technology

การพิสูจน์สมการ Black-Scholes (Deriving the Black-Scholes Equation)

2025-05-08 03:26:52


ตอนนี้ที่เราได้อนุพันธ์ของอิโตะแล้ว เราก็พร้อมที่จะอนุพันธ์สมการ Black-Scholes


สมมติว่าเราต้องการกำหนดราคาให้กับ Vanilla European C บนสินทรัพย์ S ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ซึ่งจะครบกำหนดในเวลา T เราจะสมมติว่า S ปฏิบัติตามการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิตที่มีอัตราการเติบโตเฉลี่ย μ และความผันผวน σ r จะเป็นตัวแทนของอัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงที่ทบต้นอย่างต่อเนื่อง r, μ และ σ ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา t หรือราคาสินทรัพย์ S ดังนั้นจึงคงที่ตลอดช่วงอายุของออปชัน


เนื่องจากราคาตัวเลือกของเรา C เป็นฟังก์ชันของเวลา t และราคาของสินทรัพย์ S เราจะใช้สัญกรณ์ C = C(S,t) เพื่อแทนราคาของตัวเลือก โปรดทราบว่าในขั้นตอนนี้เรากำลังสมมติว่า C มีอยู่และมีการกำหนดที่ชัดเจน เราจะแสดงให้เห็นในภายหลังว่านี่เป็นข้อเรียกร้องที่มีเหตุผล


ขั้นตอนแรกคือการใช้ทฤษฎีของอิโตะกับฟังก์ชัน C(S,t) เพื่อให้เราได้สมการดิฟเฟอเรนเชียลสุ่ม (SDE):


dC=Ctdt+CS(S,t)dS+122CS2(S,t)dS2


ราคาสินทรัพย์ของเราได้รับการจำลองโดยการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต ซึ่งนิพจน์สำหรับมันได้ถูกกล่าวถึงที่นี่ โปรดทราบว่า μ และ σ เป็นค่าคงที่ - กล่าวคือ ไม่ใช่ฟังก์ชันของ S หรือ t:


dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dX(t)


เราสามารถแทนที่นิพจน์นี้ในอิโตะเลมมาเพื่อให้ได้:


dC=(Ct(S,t)+μSCS(S,t)+12σ2S22CS2(S,t))dt+σSCS(S,t)dX


แก่นของการอ้างอิงของเราจะกล่าวโดยสรุปว่า พอร์ตการลงทุนที่ป้องกันความเสี่ยงอย่างเต็มที่ ซึ่งไม่มีความเสี่ยงใดๆ จะเติบโตในอัตราที่ปราศจากความเสี่ยง ดังนั้น เราจำเป็นต้องกำหนดว่าพอร์ตโฟลิโอของเราเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรตามเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสนใจในความเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของการผสมผสานระหว่างออปชันซื้อและปริมาณของสินทรัพย์ ปริมาณจะถูกระบุโดย Δ ดังนั้น:


d(C+ΔS)=(Ct(S,t)+μSCS(S,t)+12σ2S22CS2(S,t)+ΔμS)dt+ΔS(CS+Δ)dX


นี่นำเราไปสู่ทางเลือกสำหรับ Δ ซึ่งจะกำจัดคำที่เกี่ยวข้องกับความสุ่ม ถ้าเรากำหนด Δ=CS(S,t) เราจะได้รับ:


d(C+ΔS)=(Ct(S,t)+12σ2S22CS2(S,t))dt


โปรดทราบว่าเราได้ข้ามประเด็นเกี่ยวกับอนุพันธ์ของ Δ ไปแล้ว เราจะกลับมาที่เรื่องนี้ในภายหลัง


เทคนิคนี้เรียกว่า Delta-Hedging และให้พอร์ตโฟลิโอที่ปราศจากความสุ่ม นี่คือวิธีที่เราสามารถใช้ข้อโต้แย้งว่ามันควรเติบโตที่อัตราปลอดความเสี่ยง มิฉะนั้น ตามข้อโต้แย้งก่อนหน้านี้ของเรา เราจะมีโอกาสในการเก็งกำไร ดังนั้น อัตราการเติบโตของพอร์ตโฟลิโอที่ป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าของเราต้องเท่ากับอัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงที่ทบต้นอย่างต่อเนื่อง r ดังนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่า:


Ct(S,t)+12σ2S22CS2(S,t)=r(CSCS)


ถ้าเราจัดเรียงสมการนี้ใหม่ และใช้สัญลักษณ์ย่อเพื่อละเว้นการพึ่งพา (S,t) เราจะได้สมการ Black-Scholes ที่มีชื่อเสียงสำหรับมูลค่าของการเรียกร้องที่มีเงื่อนไขของเรา:


Ct+rSCS+12σ2S22CS2rC=0


แม้ว่าเราได้อนุมานสมการแล้ว แต่เรายังไม่มีเงื่อนไขเพียงพอที่จะให้คำตอบที่เป็นเอกลักษณ์ได้ สมการนี้เป็นสมการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสอง (PDE) และหากไม่มีเงื่อนไขขอบเขต (เช่น ฟังก์ชันการจ่ายเงินสำหรับการเรียกร้องที่อาจเกิดขึ้นของเรา) เราจะไม่สามารถแก้ไขได้


ฟังก์ชันการจ่ายเงินหนึ่งที่เราสามารถใช้ได้คือของออปชันซื้อแบบยุโรปที่มีราคาใช้สิทธิที่ K สิ่งนี้มีฟังก์ชันการจ่ายเงินเมื่อหมดอายุ T ดังนี้:


C(S,T)=max(SK,0)


ตอนนี้เราอยู่ในตำแหน่งที่จะสามารถแก้สมการ Black-Scholes ได้แล้ว




อ้างอิง : Deriving the Black-Scholes Equation

จาก https://www.quantstart.com/articles/Deriving-the-Black-Scholes-Equation/

ร่วมเเสดงความคิดเห็น :

บทความอื่นๆที่น่าสนใจ

บทความที่น่าสนใจอื่นๆยังมีอีกมากลองเลืือกดูจากด้านล่างนี้ได้นะครับ