การพิสูจน์สมการ Black-Scholes (Deriving the Black-Scholes Equation)

เมื่อเรามีเครื่องมืออย่าง Ito’s Lemma และโมเดล Geometric Brownian Motion (GBM) แล้ว ตอนนี้เราสามารถเริ่มการพิสูจน์สมการ Black-Scholes ได้

1. ตั้งต้นด้วยการนิยามตัวแปร

สมมุติว่า:

• S(t): ราคาของสินทรัพย์อ้างอิง (Underlying Asset)
• V(t,S): มูลค่าของสัญญา (เช่น European call option)
• T: เวลาหมดอายุของออปชัน
• r: อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง (risk-free rate)
• μ: อัตราการเติบโตของสินทรัพย์
• σ: ความผันผวนของสินทรัพย์

โดยที่ราคาสินทรัพย์เป็น GBM:

dS=μSdt+σSdB

และเราต้องการประเมิน V(t,S)

2. ใช้ Ito’s Lemma กับ V(t,S)

เนื่องจาก V เป็นฟังก์ชันของทั้ง t และ S เราใช้ Ito's Lemma:

dV=∂t∂V​dt+∂S∂V​dS+21​∂S2∂2V​(dS)2

แทน dS จาก GBM ลงไป:

dV=∂t∂V​dt+∂S∂V​(μSdt+σSdB)+21​∂S2∂2V​σ2S2dt

จัดรูปใหม่:

dV=(∂t∂V​+μS∂S∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt+σS∂S∂V​dB

3. สร้างพอร์ตฟอลิโอแบบ Delta-Hedged

สร้างพอร์ตฟอลิโอ:

Π=V−ΔS

การเปลี่ยนแปลงของพอร์ต:

dΠ=dV−ΔdS

แทนค่าจากด้านบน:

dΠ=(∂t∂V​+μS∂S∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt+σS∂S∂V​dB−Δ(μSdt+σSdB)

จัดรูปใหม่:

dΠ=(∂t∂V​+μS∂S∂V​−ΔμS+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt+(σS∂S∂V​−ΔσS)dB

เพื่อให้ความเสี่ยงหายไป (hedge randomness):

ตั้ง Δ=∂S∂V​

จะได้:

dΠ=(∂t∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​)dt

4. ใช้หลักการ No-Arbitrage

ถ้าพอร์ตฟอลิโอไร้ความเสี่ยง มันควรจะเติบโตด้วยอัตรา r:

dΠ=rΠdt=r(V−ΔS)dt=r(V−S∂S∂V​)dt

จับคู่เทอม dt ทั้งสองฝั่ง:

∂t∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​=r(V−S∂S∂V​)

ย้ายข้าง:

∂t∂V​+rS∂S∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​−rV=0

นี่คือ สมการ Black-Scholes:

∂t∂V​+rS∂S∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​−rV=0

5. Payoff Function สำหรับ Call Option

เพื่อแก้ PDE นี้ ต้องมีเงื่อนไขขอบ เช่น:

European Call Option ที่ strike K

Payoff ที่ t=T: V(T,S)=max⁡(S−K,0)V(T, S) = \max(S - K, 0)V(T,S)=max(S−K,0)

จากตรงนี้สามารถใช้วิธีแปลง PDE และแก้แบบ analytic เพื่อให้ได้สูตร Black-Scholes ที่เป็น closed-form

อ้างอิง : Deriving the Black-Scholes Equation

จาก https://www.quantstart.com/articles/Deriving-the-Black-Scholes-Equation/