การพิสูจน์สมการ Black-Scholes (Deriving the Black-Scholes Equation)

ตอนนี้ที่เราได้อนุพันธ์ของอิโตะแล้ว เราก็พร้อมที่จะอนุพันธ์สมการ Black-Scholes

สมมติว่าเราต้องการกำหนดราคาให้กับ Vanilla European C บนสินทรัพย์ S ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ซึ่งจะครบกำหนดในเวลา T เราจะสมมติว่า S ปฏิบัติตามการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิตที่มีอัตราการเติบโตเฉลี่ย $\mu$ และความผันผวน $\sigma$ $r$ จะเป็นตัวแทนของอัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงที่ทบต้นอย่างต่อเนื่อง $r$, $\mu$ และ $\sigma$ ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา t หรือราคาสินทรัพย์ S ดังนั้นจึงคงที่ตลอดช่วงอายุของออปชัน

เนื่องจากราคาตัวเลือกของเรา C เป็นฟังก์ชันของเวลา t และราคาของสินทรัพย์ S เราจะใช้สัญกรณ์ C = C(S,t) เพื่อแทนราคาของตัวเลือก โปรดทราบว่าในขั้นตอนนี้เรากำลังสมมติว่า C มีอยู่และมีการกำหนดที่ชัดเจน เราจะแสดงให้เห็นในภายหลังว่านี่เป็นข้อเรียกร้องที่มีเหตุผล

ขั้นตอนแรกคือการใช้ทฤษฎีของอิโตะกับฟังก์ชัน C(S,t) เพื่อให้เราได้สมการดิฟเฟอเรนเชียลสุ่ม (SDE):

$$\begin{array}{r}dC=\frac{\partial C}{\partial t}dt+\frac{\partial C}{\partial S}(S,t)dS+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}(S,t)d{S}^2\end{array}$$

ราคาสินทรัพย์ของเราได้รับการจำลองโดยการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต ซึ่งนิพจน์สำหรับมันได้ถูกกล่าวถึงที่นี่ โปรดทราบว่า $\mu$ และ $\sigma$ เป็นค่าคงที่ - กล่าวคือ ไม่ใช่ฟังก์ชันของ S หรือ t:

$$\begin{array}{r}dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dX(t)\end{array}$$

เราสามารถแทนที่นิพจน์นี้ในอิโตะเลมมาเพื่อให้ได้:

$$\begin{array}{r}dC=(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t)+\mu S\frac{\partial C}{\partial S}(S,t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}(S,t))dt+\sigma S\frac{\partial C}{\partial S}(S,t)dX\end{array}$$

แก่นของการอ้างอิงของเราจะกล่าวโดยสรุปว่า พอร์ตการลงทุนที่ป้องกันความเสี่ยงอย่างเต็มที่ ซึ่งไม่มีความเสี่ยงใดๆ จะเติบโตในอัตราที่ปราศจากความเสี่ยง ดังนั้น เราจำเป็นต้องกำหนดว่าพอร์ตโฟลิโอของเราเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรตามเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสนใจในความเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของการผสมผสานระหว่างออปชันซื้อและปริมาณของสินทรัพย์ ปริมาณจะถูกระบุโดย $\mathrm{\Delta }$ ดังนั้น:

$$\begin{array}{r}d(C+\mathrm{\Delta }S)=(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t)+\mu S\frac{\partial C}{\partial S}(S,t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}(S,t)+\mathrm{\Delta }\mu S)dt+\mathrm{\Delta }S(\frac{\partial C}{\partial S}+\mathrm{\Delta })dX\end{array}$$

นี่นำเราไปสู่ทางเลือกสำหรับ $\mathrm{\Delta }$ ซึ่งจะกำจัดคำที่เกี่ยวข้องกับความสุ่ม ถ้าเรากำหนด $\mathrm{\Delta }=-\frac{\partial C}{\partial S}(S,t)$ เราจะได้รับ:

$$\begin{array}{r}d(C+\mathrm{\Delta }S)=(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}(S,t))dt\end{array}$$

โปรดทราบว่าเราได้ข้ามประเด็นเกี่ยวกับอนุพันธ์ของ $\mathrm{\Delta }$ ไปแล้ว เราจะกลับมาที่เรื่องนี้ในภายหลัง

เทคนิคนี้เรียกว่า Delta-Hedging และให้พอร์ตโฟลิโอที่ปราศจากความสุ่ม นี่คือวิธีที่เราสามารถใช้ข้อโต้แย้งว่ามันควรเติบโตที่อัตราปลอดความเสี่ยง มิฉะนั้น ตามข้อโต้แย้งก่อนหน้านี้ของเรา เราจะมีโอกาสในการเก็งกำไร ดังนั้น อัตราการเติบโตของพอร์ตโฟลิโอที่ป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าของเราต้องเท่ากับอัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงที่ทบต้นอย่างต่อเนื่อง $r$ ดังนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่า:

$$\begin{array}{r}\frac{\partial C}{\partial t}(S,t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}(S,t)=r(C-S\frac{\partial C}{\partial S})\end{array}$$

ถ้าเราจัดเรียงสมการนี้ใหม่ และใช้สัญลักษณ์ย่อเพื่อละเว้นการพึ่งพา (S,t) เราจะได้สมการ Black-Scholes ที่มีชื่อเสียงสำหรับมูลค่าของการเรียกร้องที่มีเงื่อนไขของเรา:

$$\begin{array}{r}\frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}-rC=0\end{array}$$

แม้ว่าเราได้อนุมานสมการแล้ว แต่เรายังไม่มีเงื่อนไขเพียงพอที่จะให้คำตอบที่เป็นเอกลักษณ์ได้ สมการนี้เป็นสมการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสอง (PDE) และหากไม่มีเงื่อนไขขอบเขต (เช่น ฟังก์ชันการจ่ายเงินสำหรับการเรียกร้องที่อาจเกิดขึ้นของเรา) เราจะไม่สามารถแก้ไขได้

ฟังก์ชันการจ่ายเงินหนึ่งที่เราสามารถใช้ได้คือของออปชันซื้อแบบยุโรปที่มีราคาใช้สิทธิที่ K สิ่งนี้มีฟังก์ชันการจ่ายเงินเมื่อหมดอายุ T ดังนี้:

$$\begin{array}{r}C(S,T)=max(S-K,0)\end{array}$$

ตอนนี้เราอยู่ในตำแหน่งที่จะสามารถแก้สมการ Black-Scholes ได้แล้ว

อ้างอิง : Deriving the Black-Scholes Equation

จาก https://www.quantstart.com/articles/Deriving-the-Black-Scholes-Equation/