บทนิยามของเลมมาของอิโตะ (Ito’s Lemma)

Ito's Lemma เป็นส่วนสำคัญใน Ito Calculus ใช้ในการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขึ้นกับเวลาในกระบวนการสุ่ม มันทำหน้าที่เหมือนกฎลูกโซ่ในบริบทของความสุ่ม เปรียบเสมือนกฎลูกโซ่ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ปกติ Ito's Lemma เป็นรากฐานสำคัญของการเงินเชิงปริมาณและเป็นส่วนสำคัญในการอนุมานสมการ Black-Scholes สำหรับการกำหนดราคาออปชั่น

จำเป็นต้องเข้าใจแนวคิดของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม และการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิตก่อนที่จะดำเนินการต่อไป

กฎลูกโซ่ 

หนึ่งในเครื่องมือพื้นฐานที่สุดจากแคลคูลัสทั่วไปคือกฎลูกโซ่ มันช่วยให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของการประกอบฟังก์ชันที่เชื่อมโยงกันได้ อย่างเป็นทางการ หาก W(t) 

เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ:

$$\begin{array}{r}dW(t)=\mu (W(t),t)dt\end{array}$$

จากนั้นกฎลูกโซ่ระบุว่า:

$$\begin{array}{r}d(f(W(t)))=f^{\prime }(W(t))\mu (W(t),t)dt\end{array}$$

เมื่อ f มี t เป็นพารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่โดยตรงด้วย เราจำเป็นต้องมีพจน์เพิ่มเติมและอนุพันธ์บางส่วน ในกรณีนี้ กฎลูกโซ่จะเป็นดังนี้:

$$\begin{array}{r}d(f(W(t),t))=(\frac{\partial f}{\partial w}(W(t),t)\mu (W(t),t)+\frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t))dt\end{array}$$

เพื่อจำลองการกระจายราคาสินทรัพย์ให้ถูกต้องในลักษณะ log-normal เราจะใช้เวอร์ชันสุ่มของกฎลูกโซ่ในการแก้สมการอนุพันธ์สุ่มที่แทนการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต

งานหลักตอนนี้คือการขยายเวอร์ชันปกติของกฎลูกโซ่ในแคลคูลัสให้สามารถจัดการกับตัวแปรสุ่มได้อย่างถูกต้อง

Ito's Lemma

ทฤษฎี (Ito's Lemma) 

ให้ B(t) เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน และ W(t) เป็นกระบวนการการแพร่กระจายแบบ Ito ที่พอใจสมการอนุพันธ์สุ่ม:

$$\begin{array}{r}dW(t)=\mu (W(t),t)dt+\sigma (W(t),t)dB(t)\end{array}$$

ถ้า $f(w,t)\in C^2({\mathbb{R}}^2,\mathbb{R})$ แล้ว f(W(t),t) ก็เป็นกระบวนการการลอยตัว-การแพร่กระจายของ Ito ด้วย โดยมีอนุพันธ์ดังนี้:$$\begin{array}{r}d(f(W(t),t))=\frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)dt+f^{\prime }(W(t),t)dW+\frac{1}{2}{f}^{″}(W(t),t)dW(t{)}^2\end{array}$$

ด้วย $dW(t{)}^2$ ให้โดย: $d{t}^2=0$ , $dtdB(t)=0$ และ $dB(t{)}^2=dt$

อ้างอิง: Ito's Lemma

จาก https://www.quantstart.com/articles/Itos-Lemma/