บทนิยามของเลมมาของอิโตะ (Ito’s Lemma)

Ito's Lemma เป็นกฎพื้นฐานในแคลคูลัสเชิงสุ่ม (Ito Calculus) ที่ขยายกฎลูกโซ่ (chain rule) จากแคลคูลัสปกติให้สามารถใช้กับกระบวนการสุ่มอย่าง Brownian Motion ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประเมินฟังก์ชันที่ขึ้นกับเวลาและตัวแปรสุ่มพร้อมกัน เช่น f(t,X(t)) ซึ่งใช้กันมากในด้านการเงินคณิตศาสตร์

ความเชื่อมโยงกับ Chain Rule ปกติ

ในแคลคูลัสทั่วไป หากเรามีฟังก์ชัน Y=f(t,x(t)) และ x(t) เป็นฟังก์ชันของ t ปกติ เราใช้ chain rule ว่า:

dtdY​=∂t∂f​+∂x∂f​⋅dtdx​

แต่ถ้า x(t) เป็น กระบวนการสุ่ม (stochastic process) อย่าง Brownian motion หรือ Ito process กฎนี้จะไม่เพียงพอ เพราะ Brownian motion ไม่มีอนุพันธ์ในความหมายปกติ

รูปแบบของ Ito's Lemma (1 ตัวแปร)

หาก X(t) เป็น Ito process:

dX(t)=μ(t,X(t))dt+σ(t,X(t))dB(t)

และ f(t,X(t)) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์บางอย่างต่อเนื่องครบถ้วนแล้ว Ito’s Lemma จะให้:

df(t,X(t))=(∂t∂f​+μ∂x∂f​+21​σ2∂x2∂2f​)dt+σ∂x∂f​dB(t)

คำอธิบายแต่ละพจน์

• μ: อัตราเปลี่ยนแปลงแบบ non-random (drift)
• σ: ความผันผวนสุ่ม (volatility)
• ​1/2σ2∂x2∂2f ​: พจน์พิเศษ ที่ไม่มีใน chain rule ปกติ เกิดจากการกระทำกับค่าความแปรปรวนของ Brownian motion
• พจน์ที่มี dB(t): ส่วนสุ่ม

ตัวอย่าง: ใช้กับ GBM

ถ้า dS=μSdt+σSdB, แล้วต้องการหา d(lnS):

ใช้ Ito's Lemma กับ f(S)=lnS จะได้:

df=(S1​⋅μS−21​⋅S21​⋅σ2S2)dt+S1​⋅σSdB=(μ−21​σ2)dt+σdB

ซึ่งตรงกับผลที่ใช้ในบท Geometric Brownian Motion

สรุปสั้น: Ito’s Lemma คือ “chain rule สำหรับสมการสุ่ม” ที่สำคัญต่อการแก้ SDE และนำไปสู่การหาสูตรของ Black-Scholes

อ้างอิง : Ito's Lemma

จาก https://www.quantstart.com/articles/Itos-Lemma/