Technology

การเคลื่อนที่แบบ Brownian เชิงเรขาคณิต (Geometric Brownian Motion: GBM)

2025-05-06 07:12:00


โมเดลปกติสำหรับการพัฒนาของราคาสินทรัพย์ S(t) คือการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต ซึ่งแสดงโดยสมการอนุพันธ์สุ่มดังต่อไปนี้:


dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dB(t)


โปรดสังเกตว่าอัตราส่วน μ และ σ ซึ่งแทนการลอยตัวและความผันผวนของสินทรัพย์ตามลำดับนั้นเป็นค่าคงที่ในโมเดลนี้ ในโมเดลที่ซับซ้อนกว่านี้ พวกมันสามารถถูกทำให้เป็นฟังก์ชันของ t, S(t) และกระบวนการสุ่มอื่น ๆ ได้


วิธีการหาคำตอบ S(t) สามารถทำได้โดยการใช้เกณฑ์ของอิโตะกับสมการอนุพันธ์สุ่ม


การหารด้วย S(t) ในสมการข้างต้นจะนำไปสู่:


dS(t)S(t)=μdt+σdB(t)


สังเกตว่าฝั่งซ้ายของสมการนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของ log S(t) การใช้กฎของอิโตะกับ log S(t) จะได้ว่า:


d(logS(t))=(logS(t))μS(t)dt+(logS(t))σS(t)dB(t)+12(logS(t))σ2S(t)2dt


กลายเป็น:


d(logS(t))=μdt+σdB(t)12σ2dt=(μ12σ2)dt+σdB(t)


นี่คือกระบวนการการแพร่กระจายแบบอิโตะ มันเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐานที่มีเทอมการเลื่อน เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นเพียงการย่อส่วนของสูตรปริพันธ์ เราสามารถเขียนเป็นดังนี้:


log(S(t))log(S(0))=(μ12σ2)t+σB(t)


สุดท้าย การนำเลขยกกำลังของสมการนี้จะให้:


S(t)=S(0)exp((μ12σ2)t+σB(t))


นี่คือวิธีแก้สมการอนุพันธ์สุ่ม ในความเป็นจริง นี่เป็นหนึ่งในไม่กี่วิธีการวิเคราะห์ที่สามารถหาได้จากสมการอนุพันธ์สุ่ม



อ้างอิง: Geometric Brownian Motion

จาก https://www.quantstart.com/articles/Geometric-Brownian-Motion/

ร่วมเเสดงความคิดเห็น :