สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (Stochastic Differential Equations: SDEs)

ก่อนหน้านี้เราได้แนะนำ Brownian Motion และ Wiener Process เพื่อเป็นรากฐานของการสร้างแบบจำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์ อย่างไรก็ตาม Brownian Motion แบบปกติมีโอกาสที่ค่าจะติดลบ ซึ่งไม่สะท้อนความเป็นจริงของราคาหุ้นที่ไม่สามารถต่ำกว่า 0 ได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาโมเดลใหม่ที่ยังคงลักษณะความสุ่มไว้ แต่แก้ปัญหาเรื่องค่าติดลบ นั่นคือ Geometric Brownian Motion (GBM)

แต่ก่อนที่จะพูดถึง GBM เราต้องทำความเข้าใจกับ สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (Stochastic Differential Equation หรือ SDE) เสียก่อน

ความจำเป็นของ SDE

ในโลกของความสุ่ม กฎของแคลคูลัสทั่วไปใช้ไม่ได้ตรงๆ เนื่องจาก Brownian Motion มีลักษณะไม่เรียบ (non-differentiable) และมีพฤติกรรมสุ่ม เราจึงต้องใช้ การอินทิเกรตเชิงสุ่ม (Stochastic Integral) แทน

นิยาม: การอินทิเกรตเชิงสุ่ม (Stochastic Integral)

กำหนดฟังก์ชัน f(t)f(t)f(t) ที่ไม่รู้ค่าล่วงหน้า (non-anticipatory) อินทิเกรตเชิงสุ่มของ fff กับ Brownian Motion B(t)B(t)B(t) คือ:

∫0Tf(t) dB(t)\int_0^T f(t) \, dB(t)∫0T​f(t)dB(t)

ฟังก์ชัน f(t)f(t)f(t) ต้องไม่สามารถใช้ข้อมูลจากอนาคตของ B(t)B(t)B(t) ได้ เช่น ถ้า f(t)f(t)f(t) เป็นกลยุทธ์การลงทุนตามราคา B(t)B(t)B(t) การใช้ข้อมูลในอนาคตจะเท่ากับโกงตลาด

เขียนในรูปเชิงอนุพันธ์

แม้ว่า dB(t)dB(t)dB(t) จะไม่สามารถตีความว่าเป็นอนุพันธ์ในเชิงคลาสสิกได้ แต่เรามักเขียนในรูปย่อ:

dX(t)=μ(t,X(t)) dt+σ(t,X(t)) dB(t)dX(t) = \mu(t, X(t)) \, dt + \sigma(t, X(t)) \, dB(t)dX(t)=μ(t,X(t))dt+σ(t,X(t))dB(t)

ซึ่งเป็น สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของ X(t)X(t)X(t)

นิยาม: สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (Stochastic Differential Equation)

ให้ B(t)B(t)B(t) เป็น Brownian Motion หาก X(t)X(t)X(t) เป็นกระบวนการสุ่มที่เปลี่ยนแปลงตาม:

dX(t)=μ(t,X(t)) dt+σ(t,X(t)) dB(t)dX(t) = \mu(t, X(t)) \, dt + \sigma(t, X(t)) \, dB(t)dX(t)=μ(t,X(t))dt+σ(t,X(t))dB(t)

โดยที่:

• μ(t,X(t))\mu(t, X(t))μ(t,X(t)): drift coefficient (องค์ประกอบไม่สุ่ม)
• σ(t,X(t))\sigma(t, X(t))σ(t,X(t)): diffusion coefficient (องค์ประกอบสุ่ม คูณกับ dB(t)dB(t)dB(t))

แล้ว X(t)X(t)X(t) คือกระบวนการที่เรียกว่า Ito Process หรือ Ito drift-diffusion process

SDE คือเครื่องมือหลักในการสร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่มีความสุ่ม เช่น ราคาสินทรัพย์ โดยผสมระหว่าง:

• การเปลี่ยนแปลงแบบแน่นอน (dt term)
• ความสุ่มแบบไม่แน่นอน (dB(t) term)
• ในส่วนถัดไป เราจะเห็นว่าการนำ SDE มาประยุกต์ใช้กับ GBM สามารถสร้างแบบจำลองราคาแบบ ค่าบวกเท่านั้น ได้อย่างไร

อ้างอิง : Stochastic Differential Equations

จาก https://www.quantstart.com/articles/Stochastic-Differential-Equations/