2025-05-06 03:42:09
บทความก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนและกระบวนการวีนเนอร์ได้แนะนำการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนมาตรฐานเป็นวิธีการจำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์ อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนมาตรฐานมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ในการเป็นลบ นี่ชัดเจนว่าไม่ใช่คุณสมบัติที่มีในสินทรัพย์ในโลกจริง - ราคาหุ้นไม่สามารถต่ำกว่าเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น แม้ว่าลักษณะสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนสำหรับโมเดลของเราควรคงไว้ แต่จำเป็นต้องปรับวิธีการแจกแจงความสุ่มนั้นให้ถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต (GBM) จะถูกนำเสนอในตอนนี้ ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาราคาหุ้นติดลบ
อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะพิจารณาการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต จำเป็นต้องพูดคุยเกี่ยวกับแนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถสร้าง GBM และแก้ไขเพื่อให้ได้ฟังก์ชันสำหรับเส้นทางราคาสินทรัพย์
ตอนนี้ที่เราได้กำหนดการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนแล้ว เราสามารถใช้มันเป็นบล็อกสร้างพื้นฐานในการเริ่มสร้างสมการอนุพันธ์สุ่ม (SDE) เราต้องการสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน f = f(S) และอนุพันธ์ของมันตาม S ซึ่ง S เป็นราคาหุ้นที่กำหนดโดยการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน
กฎบางอย่างของแคลคูลัสปกติไม่ทำงานตามที่คาดหวังในโลกที่มีความสุ่ม เราจำเป็นต้องปรับเปลี่ยนพวกมันเพื่อคำนึงถึงทั้งพฤติกรรมสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวน์และลักษณะที่ไม่สามารถอนุพันธ์ได้ของมัน เราจะเริ่มต้นด้วยการพูดคุยเกี่ยวกับอินทิกรัลสุ่ม ซึ่งจะนำเราไปสู่แนวคิดของ SDE อย่างเป็นธรรมชาติ
อินทิกรัลสุ่มของฟังก์ชัน f = f(t) คือ ฟังก์ชัน W = W(t),
โปรดสังเกตว่าฟังก์ชัน f ไม่คาดการณ์ล่วงหน้าในแง่ที่ว่ามันถูกประเมินภายในเครื่องหมายผลรวมในเวลา
นิพจน์ก่อนหน้านี้ที่ให้ไว้ W(t) เป็นนิพจน์เชิงปริพันธ์และดังนั้นจึงมีความหมายชัดเจนสำหรับตัวแปรที่ไม่สามารถอนุพันธ์ได้ B(t)
เนื่องจากคุณสมบัติของความจำกัดรวมถึงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่เลือก อย่างไรก็ตาม เราต้องการที่จะเขียนในรูปแบบเชิงอนุพันธ์:
สามารถพิจารณาคำว่า dB ว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็น dt คำจำกัดความอย่างเป็นทางการมีดังนี้:
ให้ B(t) เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน ถ้า W(t) เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม โดยที่สำหรับทุก f
เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่เป็น
เป็นสมการอนุพันธ์สุ่มสำหรับ W(t)
ลำดับของตัวแปรสุ่มที่กล่าวถึงข้างต้นเรียกว่า กระบวนการ Ito drift-diffusion หรือเรียกง่ายๆ ว่า กระบวนการอิโต หรือกระบวนการสุ่ม
สามารถเห็นได้ว่า
ในส่วนถัดไปเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต จะมีการใช้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มเพื่อจำลองการเคลื่อนที่ของราคาสินทรัพย์
อ้างอิง : Stochastic Differential Equations
จาก https://www.quantstart.com/articles/Stochastic-Differential-Equations/
2025-01-10 10:12:01
2024-06-10 03:19:31
2024-05-31 03:06:49
2024-05-28 03:09:25
บทความที่น่าสนใจอื่นๆยังมีอีกมากลองเลืือกดูจากด้านล่างนี้ได้นะครับ
2024-01-11 11:45:01
2024-01-25 04:04:05
2023-11-21 12:50:55
2024-10-10 09:18:31
2024-09-25 04:38:33
2024-05-31 02:12:00
2024-08-06 04:19:32
2025-04-03 05:08:01
2024-05-02 05:58:07