สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (Stochastic Differential Equations: SDEs)

บทความก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนและกระบวนการวีนเนอร์ได้แนะนำการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนมาตรฐานเป็นวิธีการจำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์ อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนมาตรฐานมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ในการเป็นลบ นี่ชัดเจนว่าไม่ใช่คุณสมบัติที่มีในสินทรัพย์ในโลกจริง - ราคาหุ้นไม่สามารถต่ำกว่าเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น แม้ว่าลักษณะสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนสำหรับโมเดลของเราควรคงไว้ แต่จำเป็นต้องปรับวิธีการแจกแจงความสุ่มนั้นให้ถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต (GBM) จะถูกนำเสนอในตอนนี้ ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาราคาหุ้นติดลบ

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะพิจารณาการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต จำเป็นต้องพูดคุยเกี่ยวกับแนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถสร้าง GBM และแก้ไขเพื่อให้ได้ฟังก์ชันสำหรับเส้นทางราคาสินทรัพย์

สมการอนุพันธ์สโตแคสติก

ตอนนี้ที่เราได้กำหนดการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนแล้ว เราสามารถใช้มันเป็นบล็อกสร้างพื้นฐานในการเริ่มสร้างสมการอนุพันธ์สุ่ม (SDE) เราต้องการสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน f = f(S) และอนุพันธ์ของมันตาม S ซึ่ง S เป็นราคาหุ้นที่กำหนดโดยการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน

กฎบางอย่างของแคลคูลัสปกติไม่ทำงานตามที่คาดหวังในโลกที่มีความสุ่ม เราจำเป็นต้องปรับเปลี่ยนพวกมันเพื่อคำนึงถึงทั้งพฤติกรรมสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวน์และลักษณะที่ไม่สามารถอนุพันธ์ได้ของมัน เราจะเริ่มต้นด้วยการพูดคุยเกี่ยวกับอินทิกรัลสุ่ม ซึ่งจะนำเราไปสู่แนวคิดของ SDE อย่างเป็นธรรมชาติ

คำจำกัดความ (อินทิกรัลสุ่ม)

อินทิกรัลสุ่มของฟังก์ชัน f = f(t) คือ ฟังก์ชัน W = W(t),$t\in [0,T]$ กำหนดโดย:

$$\begin{array}{r}W(t)={\int }_0^{t}f(s)dB(s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{N}f(t_{k-1})(B(t_k)-B(t_{k-1}))\end{array}$$

$$\begin{array}{r}<br>\end{array}$$ที่ $t_k=\frac{kt}{N}$

โปรดสังเกตว่าฟังก์ชัน f ไม่คาดการณ์ล่วงหน้าในแง่ที่ว่ามันถูกประเมินภายในเครื่องหมายผลรวมในเวลา $t_{k-1}$ บริบทเป็นแบบไม่คาดการณ์ในแง่ที่ว่ามันถูกประเมินภายในเครื่องหมายผลรวมที่เวลา . นี่หมายความว่ามันไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มที่ นี่หมายความว่าไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มที่ $X(t_k)$ คือ สมมติว่า f แสดงถึงการจัดสรรพอร์ตโฟลิโอบางอย่างตาม B ถ้าไม่ได้ประเมินที่ $t_{k-1}$ แต่ที่ $t_k$ เราจะสามารถคาดการณ์อนาคตและปรับพอร์ตโฟลิโอตามนั้นได้

นิพจน์ก่อนหน้านี้ที่ให้ไว้ W(t) เป็นนิพจน์เชิงปริพันธ์และดังนั้นจึงมีความหมายชัดเจนสำหรับตัวแปรที่ไม่สามารถอนุพันธ์ได้ B(t)

เนื่องจากคุณสมบัติของความจำกัดรวมถึงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่เลือก อย่างไรก็ตาม เราต้องการที่จะเขียนในรูปแบบเชิงอนุพันธ์:

$$\begin{array}{r}dW=f(t)dB\end{array}$$

สามารถพิจารณาคำว่า dB ว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็น dt คำจำกัดความอย่างเป็นทางการมีดังนี้:

คำจำกัดความ (สมการอนุพันธ์สุ่ม)

ให้ B(t) เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน ถ้า W(t) เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม โดยที่สำหรับทุก f

$$\begin{array}{r}W(t+\delta t)-W(t)-\delta t\mu (t,W(t))-\sigma (t,B(t))(B(t+\delta t)-B(t))\end{array}$$

เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่เป็น $o(\delta t)$ ดังนั้น:

$$\begin{array}{r}dW=\mu (t,W(t))dt+\sigma (t,W(t))dB\end{array}$$

เป็นสมการอนุพันธ์สุ่มสำหรับ W(t)

ลำดับของตัวแปรสุ่มที่กล่าวถึงข้างต้นเรียกว่า กระบวนการ Ito drift-diffusion หรือเรียกง่ายๆ ว่า กระบวนการอิโต หรือกระบวนการสุ่ม

สามารถเห็นได้ว่า $\mu$ และ $\sigma$ เป็นฟังก์ชันของ t และ W ทั้งคู่ $\mu$ มีการตีความว่าเป็นสัมประสิทธิ์การลอยตัวที่ไม่เป็นสถิติ ในขณะที่ $\sigma$ แสดงถึงสัมประสิทธิ์ความผันผวน - มันถูกคูณด้วยเทอม dB ที่เป็นสถิติ ดังนั้น สมการอนุพันธ์สุ่มจึงมีทั้งส่วนที่ไม่เป็นสุ่มและส่วนที่เป็นสุ่ม

ในส่วนถัดไปเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต จะมีการใช้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มเพื่อจำลองการเคลื่อนที่ของราคาสินทรัพย์

อ้างอิง : Stochastic Differential Equations

จาก https://www.quantstart.com/articles/Stochastic-Differential-Equations/