Technology

การแก้สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง (Solving the Diffusion Equation Explicitly)

2025-05-09 08:28:08

โพสต์นี้เป็นส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับวิธีการอนุพันธ์จำกัด โพสต์อื่นในซีรีส์นี้มุ่งเน้นไปที่การประมาณอนุพันธ์ วิธีการแบบแฝงของ Crank-Nicolson และตัวแก้ปัญหาTridiagonal Matrix Solver/Thomas Algorithm:

การประมาณอนุพันธ์ด้วยวิธีผลต่างจำกัด
การแก้สมการการแพร่แบบชัดแจ้ง (Explicit)
วิธี Crank-Nicholson แบบปริยาย
การแก้ระบบเมทริกซ์สามแนวทแยงด้วยอัลกอริธึมของโธมัส

ในส่วนที่ 1 ของซีรีส์เกี่ยวกับวิธีการต่างๆ ของอนุพันธ์จำกัด ได้แสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ต่อเนื่องสามารถประมาณค่าและนำไปใช้กับโดเมนเชิงพาณิชย์ได้ ขั้นตอนถัดไปคือการนำอนุพันธ์เหล่านี้ไปใช้กับสมการพาร์โบลิก PDE สมการความร้อนเป็นตัวอย่างมาตรฐานของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยพาราโบลิก และตอนนี้จะถูกทำให้เป็นเชิงเลข

สมการความร้อนพร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น g มีดังนี้:

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, f (x, 0) = g (x)$

สิ่งนี้ถูกแบ่งเป็นช่วงโดยการใช้ความแตกต่างไปข้างหน้าในอนุพันธ์ตามเวลาและความแตกต่างที่สองแบบศูนย์กลางสำหรับเทอมการแพร่กระจายเพื่อให้ได้:

$\frac{f_{i}^{n + 1} - f_{i}^{n}}{Δ t} = \frac{f_{i + 1}^{n} - 2 f_{i}^{n} + f_{i - 1}^{n}}{(Δ x)^{2}}$

สมการนี้สามารถจัดเรียงใหม่สำหรับ $f_{i}^{n + 1}$ เพื่อให้ได้:

$f_{i}^{n + 1} = f_{i}^{n} + \frac{Δ t}{(Δ x)^{2}} (f_{i + 1}^{n} - 2 f_{i}^{n} + f_{i - 1}^{n})$

การคำนวณหาคำตอบ

สำหรับ $n = 1$ การประมาณทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหา f เป็นที่ทราบกันอยู่แล้วในด้านขวาของสมการ สิ่งนี้ทำให้สมการชัดเจน ดังนั้นงานที่เหลือเพียงอย่างเดียวคือการกำหนด $Δ t$ ซึ่งตั้งไว้ที่ $(Δ x)^{2}$ ดังนั้นสมการจึงลดลงเป็น:

$f_{i}^{n + 1} = f_{i + 1}^{n} - f_{i}^{n} + f_{i - 1}^{n}$

สูตรนี้จะอนุญาตให้คำนวณ $f_{i}^{2}$ สำหรับ $i \in 1, . . ., I$ ทั้งหมด เนื่องจากการประมาณค่า g จะให้เงื่อนไขเริ่มต้นแบบแบ่งส่วน ให้ $g_{i}$ เป็นการประมาณค่าเช่นนี้ โดยมี 'ฮีตบัมพ์' สามจุดและใช้ $I = 13$ จากนั้นค่าของ $g_{i}$ จะได้ดังนี้:

$\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}$

สิ่งนี้จะช่วยให้สามารถสร้างวิธีแก้ปัญหาได้โดยการก้าวหน้าออกจากสภาวะเริ่มต้นในลักษณะตามเวลา สิ่งนี้เรียกว่าเป็นการแก้ปัญหาแบบก้าวเวลาขึ้น:

$\begin{matrix} n = 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ n = 2 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ n = 3 & 1 & - 2 & 3 & - 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & - 1 & 3 & - 2 & 1 \\ n = 4 & - 3 & 6 & - 6 & 5 & - 2 & 3 & - 2 & 3 & - 2 & 5 & - 6 & 6 & - 3 \end{matrix}$

สำหรับ $n = 4$ โซลูชันที่ถูกแบ่งส่วนจะมีการแกว่งตัวอย่างรุนแรงและไม่มีความคล้ายคลึงกับโซลูชันที่ต่อเนื่อง ซึ่งมีการตีความทางกายภาพว่าเป็นการกระจายความร้อนที่เป็นคลื่น ชัดเจนว่าหนึ่งในสมมติฐานที่ทำเกี่ยวกับสูตรนั้นไม่ถูกต้อง

ความเสถียรภาพ

ปรากฏว่าปัญหาอยู่ที่การเลือกขนาดของช่วงเวลา $Δ t$ เทียบกับขนาดของช่วงเชิงพื้นที่ $Δ x$ เกณฑ์ความเสถียรที่ถูกต้องคือ:

$\frac{Δ t}{(Δ x)^{2}} \leq \frac{1}{2}$

เกินกว่าขอบเขตของบทความนี้ที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ แต่โปรดสังเกตว่ามันได้กำหนดข้อจำกัดที่สำคัญต่อช่วงเวลา - ปัญหาที่จะได้รับการแก้ไขในบทความถัดไป

การใช้เกณฑ์ความเสถียรใหม่นี้ โดยใช้ $Δ t = 0.5 \times (Δ x)^{2}$ กับสูตรข้างต้น จะให้ผลลัพธ์ดังนี้:

$f_{i}^{n + 1} = \frac{1}{2} f_{i + 1}^{n} + \frac{1}{2} f_{i - 1}^{n}$

การคำนวณสำหรับสูตรนี้ให้:

$\begin{matrix} n = 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ n = 2 & 0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0.5 & 1 & 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ n = 3 & 0.25 & 0 & 0.5 & 0.25 & 0.75 & 0.75 & 1 & 0.75 & 0.75 & 0.25 & 0.5 & 0 & 0.25 \\ n = 4 & 0 & 0.375 & 0.125 & 0.625 & 0.5 & 0.875 & 0.75 & 0.875 & 0.5 & 0.625 & 0.125 & 0.375 & 0 \end{matrix}$

นี่เป็นการประมาณที่แม่นยำต่อคำตอบที่แท้จริง ไม่มีค่าลบและการตีความทางกายภาพของความร้อนที่แพร่กระจายผ่านแท่ง 1 มิติสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหา

บทสรุป

การเลือกช่วงเวลาเป็นสิ่งที่จำกัดมาก ในทางปฏิบัติ ด้วยตาข่ายเชิงพื้นที่ที่ละเอียด เวลาในการก้าวจะเล็กเกินไป บทความถัดไปจะนำเสนอวิธีการอีกวิธีหนึ่งเพื่อแก้ปัญหาขั้นตอนเวลาที่เล็กเกินไป

อ้างอิง : Solving the Diffusion Equation Explicitly

จาก https://www.quantstart.com/articles/Solving-the-Diffusion-Equation-Explicitly/