สมบัติของมาร์คอฟและมาร์ติงเกล (The Markov and Martingale Properties)

แนวคิดหลักสองประการในด้านการเงินเชิงปริมาณ (quantitative finance) คือสมบัติมาร์คอฟ (Markov property) และสมบัติมาร์ติงเกล (Martingale property) โดยสมบัติมาร์คอฟระบุว่ากระบวนการสุ่ม (stochastic process) ไม่มี "ความจำ" (no memory) ส่วนสมบัติมาร์ติงเกลระบุว่าค่าคาดหมายในอนาคตของกระบวนการจะเท่ากับค่าปัจจุบัน บทความนี้จะกล่าวถึงทั้งสองสมบัติในบริบทของการประยุกต์ใช้สำหรับการกำหนดราคาของออปชัน (pricing options)

เพื่อที่จะกำหนดแนวคิดของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน (Brownian motion) อย่างเป็นทางการ และใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองราคาสินทรัพย์ (asset price model) จำเป็นต้องนิยามสมบัติมาร์คอฟและมาร์ติงเกล ทั้งสองสมบัตินี้ช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ในระยะเวลา

สมบัติมาร์คอฟ (The Markov Property)

สมบัติมาร์คอฟระบุว่ากระบวนการสุ่มไม่มี "ความจำ" หมายความว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (conditional probability distribution) ของสถานะในอนาคต จะขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับสถานะก่อนหน้าใด ๆ

วิธีที่เข้าใจง่ายในการอธิบายสมบัตินี้คือ การใช้ลำดับของตัวแปรสุ่ม (sequence of random variables) ที่แต่ละตัวแปรสามารถมีค่าใดค่าหนึ่งจากเซต {0,1} ซึ่งเทียบได้กับการโยนเหรียญ (coin toss) เราสามารถคำนวณค่าคาดหมาย (expectation) ของตัวแปรแต่ละตัวได้ และสังเกตว่าค่าคาดหมายนั้นไม่ขึ้นอยู่กับค่าก่อนหน้าในลำดับ

เมื่อพิจารณาผลรวมย่อย (partial sums) ของตัวแปรเหล่านี้ ซึ่งเรากำหนดด้วย Sn เราสามารถคำนวณค่าคาดหมายของ Sn​ ได้โดยใช้ความเป็นเชิงเส้นของโอเปอเรเตอร์ค่าคาดหมาย (linearity of expectation):

E[Sn​]=E[X1​]+E[X2​]+⋯+E[Xn​]

เราจะพบว่า ค่าคาดหมายของ Sn​ ไม่ขึ้นอยู่กับค่าก่อนหน้าในลำดับ เช่นกัน

เมื่อขยายไปยังการพิจารณาค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (conditional expectation) เช่น ถ้าเรารู้ว่า S4​ มีค่าเท่าใด เราสามารถตั้งคำถามได้ว่าค่าคาดหมายของ S5 จะเป็นอย่างไร

E[S5​∣S4​]=S4​+E[X5​]

นั่นคือ ค่าคาดหมายของ S5 ขึ้นอยู่กับเพียงแค่ค่า S4​  และไม่ขึ้นกับค่าก่อนหน้า สมบัตินี้เรียกว่าสมบัติมาร์คอฟ (Markov Property) โดยหลักการคือ ไม่มี "ความจำ" ของเหตุการณ์ในอดีตที่ไกลกว่าเหตุการณ์ปัจจุบัน

เกือบทุกแบบจำลองทางการเงินที่เราจะกล่าวถึงในบทความต่อ ๆ ไปจะมีสมบัติมาร์คอฟ

สมบัติมาร์ติงเกล (The Martingale Property)

นอกจากนี้ ผลรวมย่อย (partial sums) ของตัวแปรสุ่มยังมีสมบัติมาร์ติงเกลอีกด้วย สมบัตินี้ระบุว่า ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขของผลรวมย่อย Sn เท่ากับค่าปัจจุบัน:

E[Sn+1​∣Sn​]=Sn​

กล่าวโดยสรุป สมบัติมาร์ติงเกลหมายความว่าใน "เกมที่ยุติธรรม" (fair game) การรู้ข้อมูลในอดีตจะไม่ช่วยให้สามารถทำนายผลในอนาคตได้

สมบัติทั้งสองนี้จะมีความสำคัญอย่างมากในการนิยามการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน ซึ่งต่อไปเราจะใช้เป็นแบบจำลองเส้นทางการเคลื่อนที่ของราคาสินทรัพย์

อ้างอิง: The Markov and Martingale Properties

จาก https://www.quantstart.com/articles/The-Markov-and-Martingale-Properties/